4 точки на плоскости

Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были положительными целыми числами? а если добавить условие нечетности расстояний?

(1) выражается нечетным числом
(2) не знаю

(4) в твоем все понятно, даже в произвольном прямоугольном, а не только твоем

(7) с чего это вдруг?

(9) к чему это?

(11) зачем?

(15) это я в курсе, как и написал в (5)

Итак решаем именно вторую часть задачи:

Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были целыми нечетными числами?

(21) чего?

(24) ты только что доказал, что не существует равностороннего треугольника с длиной стороны 1.
Причина: неверное предположение, что либо Х2 либо У2 - четное На самом деле они вообще могут быть нецелыми

(27) есть, а интересно как полным перебором?

(34) не прокатило ))

Введем координаты так, что A(0,0) B(a,0) C(x,y) D(z,t)

Для вещественных p,q и целого положительного n введем обозначение p~q(mod n) того, что разность (p-q) целая и делится на n.

Заметим тот факт, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Или в обозначениях r~1(mod 2) => r^2 ~ 1(mod 8). Тогда:
1. x^2+y^2 ~ 1(mod 8)
2. (a-x)^2+y^2 ~ 1(mod 8)
3. z^2+t^2 ~ 1(mod 8)
4. (a-z)^2+t^2 ~ 1(mod 8)
5. (x-z)^2+(y-t)^2 ~ 1(mod 8)
Из 1 и 2 отношения получаем: a^2 ~ 2*x*a (mod 8). Поэтому х - рациональное, его знаменатель является делителем 2*a и сам делится на 2.
Аналогично из 3 и 4 отношения это верно и для z.
Умножим все координаты всех точек на нечетное a. Все расстояния умножатся также на a, то есть если предположение верно для начальной конструкции, то оно верно и для промасштабированной. Переобозначим все новые координаты теми же буквами.
Теперь мы можем утверждать, что x и z - рациональные числа со знаменателем 2. Вернемся к  a^2 ~ (2*x)*a (mod 8), так как a - нечетное, то верно: a ~ (2*x) (mod 8), что эквивалентно a=2*x+8*n, где n - целое. Разделим на 2:
a/2=x+4*n => x ~ a/2 (mod 4)
x ~ a/2 (mod 4) => x^2 ~ a^2/4 (mod 4) => y^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
аналогично верно: z ~ a/2 (mod 4),  z^2 ~ a^2/4 (mod 4), t^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
Вместе: x-z ~ 0 (mod 4)  => (x-z)^2 ~ 0 (mod 8) и подставляем в отношение №5:
(x-z)^2+(y-t)^2 (mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 4)
Рассмотрим (y+t)^2 = 2*y^2+2*t^2- (y-t)^2 ~ 2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 (mod 4)
2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 = 3-a^2 ~ 2 (mod 4), коротко: (y+t)^2 ~ 2 (mod 4)
Перемножим  (y-t)^2 ~ 1(mod 4) и  (y+t)^2 ~ 2(mod 4), получим:
(y^2-t^2)^2 ~ 2(mod 4), но y^2 ~ t^2 (mod 4), то есть (y^2-t^2)^2 ~ 0 (mod 4) - противоречие

(45) ага, кто бы про нее еще знал))

(47) исходя из симметрии достаточно чтобы пары (a,c), (b,d) и (e,f) не имели общих вершин, то есть либо были противоположными сторонами, либо диагоналями