Вход | Регистрация


Информационные технологии :: Математика и алгоритмы

4 точки на плоскости

4 точки на плоскости
Я
   НафНаф
 
23.01.13 - 10:29
Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были положительными целыми числами? а если добавить условие нечетности расстояний?
 
 
   1C-band
 
1 - 23.01.13 - 10:34
Можно. Для начала - треугольник со сторонами 3 и 4. Длина гипотенузы будет равна 5. Дорисовываем четвёртую точку - вуаля!

ЗЫ: Что такое - нечётность расстояний?
   Wobland
 
2 - 23.01.13 - 10:35
а что такое отрицательное расстояние?
   НафНаф
 
3 - 23.01.13 - 10:36
(1) выражается нечетным числом
(2) не знаю
   1C-band
 
4 - 23.01.13 - 10:38
(3) В моём случае - нет, поскольку все остальные длины будут произведениями минимальных (3, 4 и 5 соответственно) на какое-либо число, и в результате расстояния будут как чётными, так и нет. Но это - только В МОЁМ случае, я имею ввиду прямоугольник с рёбрами длиной 3 и 4.
   НафНаф
 
5 - 23.01.13 - 10:40
(4) в твоем все понятно, даже в произвольном прямоугольном, а не только твоем
   1C-band
 
6 - 23.01.13 - 10:41
(5) Вот надо посмотреть, могут ли быть ещё варианты размещения точек, и какие.
   acsent
 
7 - 23.01.13 - 10:41
задача сводится к нахождению пифагоровых чисел
   НафНаф
 
8 - 23.01.13 - 10:42
(7) с чего это вдруг?
   acsent
 
9 - 23.01.13 - 10:42
6,8,10 - все четные
   НафНаф
 
10 - 23.01.13 - 10:42
(9) к чему это?
 
 Рекламное место пустует
   1C-band
 
11 - 23.01.13 - 10:42
(0) А ты там, случаем, не карты ли по полигонам раскраивать решил?
   acsent
 
12 - 23.01.13 - 10:42
4 вершины прямоугольника, все расстояния целые. Ну это подмножество решений как минимум
   НафНаф
 
13 - 23.01.13 - 10:42
(11) зачем?
   1C-band
 
14 - 23.01.13 - 10:43
(9) Речь шла о НЕЧЁТНОСТИ.
   acsent
 
15 - 23.01.13 - 10:43
в пифагоровых тройках не могут
   НафНаф
 
16 - 23.01.13 - 10:43
(15) это я в курсе, как и написал в (5)
   KishMish
 
17 - 23.01.13 - 10:46
(12) диагональные расстояния тоже целые?
   ptrtss
 
18 - 23.01.13 - 10:56
(0) Можно. На прямой, через единицу
   НафНаф
 
19 - 23.01.13 - 11:03
Итак решаем именно вторую часть задачи:

Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были целыми нечетными числами?
   Lama12
 
20 - 23.01.13 - 11:04
(18) Красава!
   Lama12
 
21 - 23.01.13 - 11:04
(19) А вот это, нельзя. Т.к. любая пара даст четное расстояние.
   Lama12
 
22 - 23.01.13 - 11:05
(21) Упс... не однозначно.
   НафНаф
 
23 - 23.01.13 - 11:05
(21) чего?
   Лодырь
 
24 - 23.01.13 - 11:26
Сделаем утверждение:
1. Если построение возможно, то построение возможно и при одной из точек (0,0)


В таком случае можем принять одну из точек за Т1(0,0). Пусть координаты второй точки Т2 (Х2,У2) и третьей Т3(Х3,У3).
Тогда квадрат длины отрезка (Т1,Т2) = Х2*Х2+У2*У2 - нечетное целое. Значит либо Х2 либо У2 - четное (тк иначе бы сумма квадратов была бы четной). Аналогично находим что либо Х3 либо У3 четное.
Запишем квадрат длины отрезка (Т2,Т3) = (Х2-Х3)*(Х2-Х3)+ (У2-У3)*(У2-У3) - нечетное целое. Теперь разберем все варианты:
1. Х2 - чет, У2 - нечет, Х3- чет,У2-нечет. Получаем что четное*четное+четное*четное = нечетное. не бывает.
2. х2 чет, у2 нечет, х3 нечет У2 - чет. Получаем нечет*нечет+нечет*нечет = нечет. не бывает.
3. аналогично.
4. аналогично.

Вывод - не бывает.
   НафНаф
 
25 - 23.01.13 - 11:30
(24) ты только что доказал, что не существует равностороннего треугольника с длиной стороны 1.
Причина: неверное предположение, что либо Х2 либо У2 - четное На самом деле они вообще могут быть нецелыми
   Лодырь
 
26 - 23.01.13 - 11:40
(25) Кхм.. логично.
   ptrtss
 
27 - 23.01.13 - 13:43
А есть решение не полным перебором если?
   НафНаф
 
28 - 23.01.13 - 14:00
(27) есть, а интересно как полным перебором?
   ptrtss
 
29 - 23.01.13 - 14:38
(29) Шесть нечетных длин отрезков задаешь, и смотришь, какой получился седьмой. Если нечетный, значит решение найдено. Четный или дробный - следующая комбинация
   GrIM
 
30 - 23.01.13 - 14:44
Вот ведь людям заняться нечем. Недавно видать закончили, фантомные боли... преследуют.
   acsent
 
31 - 23.01.13 - 14:52
(24) неверно предположение, что концы треугольника должны лежать в целых точках
   Dmitry77
 
32 - 23.01.13 - 14:57
можно на обной прямой разместить через 1 еденицу измерения расстояния будут
1,2,3,4
   Lama12
 
33 - 23.01.13 - 15:11
(32) Ну да... и между первой и третьей сумма сколько?
 
 
   RomanYS
 
34 - 23.01.13 - 19:01
AB = 91
BC = 255
CA = 273
BD = 293
AD = 285
CD = 83
проверяй)
   НафНаф
 
35 - 25.01.13 - 11:27
(34) не прокатило ))
   RomanYS
 
36 - 25.01.13 - 11:57
(35) так и знал
есть более точные варианты ))
Как проверял, есть какие-то формулы, или только построение и вычисление координат?
   SUA
 
37 - 25.01.13 - 12:18
Невозможно, если в формулах не напутал нигде
долго крутить квадрат расстояний и факт что разница квадратов 2х нечетных чисел делится на 4
   RomanYS
 
38 - 25.01.13 - 12:26
(37) а ты точно не целочисленные координаты рассматривал?
у меня формулы дикие получаются, с корнями и 5-ю переменными, привести их разнице квадратов точно не получится.
Возможно я не с той стороны захожу
   SUA
 
39 - 25.01.13 - 12:27
с начальными D(0,0),A(a,0),B(b1,b2),C(c1,c2):
- все первые координаты рациональны
(СD^2-СA^2=aa-2*c1a=N1, отсюда рациональна с1, аналогично b1)
- b2-c2 рациональна
   SUA
 
40 - 25.01.13 - 12:28
5 переменных но уже 3 из них приводимы к целочисленным
   RomanYS
 
41 - 25.01.13 - 12:38
Я брал 5 длин и находил по ним шестую. Первые 2 точки задавал также как у тебя. С тем что все x-координаты рациональны соглашусь. А вот в b2 и c2 у меня корни.
Откуда вывод
"b2-c2 рациональна"?
   RomanYS
 
42 - 25.01.13 - 12:41
(41) к (39)
   НафНаф
 
43 - 25.01.13 - 13:16
Введем координаты так, что A(0,0) B(a,0) C(x,y) D(z,t)

Для вещественных p,q и целого положительного n введем обозначение p~q(mod n) того, что разность (p-q) целая и делится на n.

Заметим тот факт, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Или в обозначениях r~1(mod 2) => r^2 ~ 1(mod 8). Тогда:
1. x^2+y^2 ~ 1(mod 8)
2. (a-x)^2+y^2 ~ 1(mod 8)
3. z^2+t^2 ~ 1(mod 8)
4. (a-z)^2+t^2 ~ 1(mod 8)
5. (x-z)^2+(y-t)^2 ~ 1(mod 8)
Из 1 и 2 отношения получаем: a^2 ~ 2*x*a (mod 8). Поэтому х - рациональное, его знаменатель является делителем 2*a и сам делится на 2.
Аналогично из 3 и 4 отношения это верно и для z.
Умножим все координаты всех точек на нечетное a. Все расстояния умножатся также на a, то есть если предположение верно для начальной конструкции, то оно верно и для промасштабированной. Переобозначим все новые координаты теми же буквами.
Теперь мы можем утверждать, что x и z - рациональные числа со знаменателем 2. Вернемся к  a^2 ~ (2*x)*a (mod 8), так как a - нечетное, то верно: a ~ (2*x) (mod 8), что эквивалентно a=2*x+8*n, где n - целое. Разделим на 2:
a/2=x+4*n => x ~ a/2 (mod 4)
x ~ a/2 (mod 4) => x^2 ~ a^2/4 (mod 4) => y^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
аналогично верно: z ~ a/2 (mod 4),  z^2 ~ a^2/4 (mod 4), t^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
Вместе: x-z ~ 0 (mod 4)  => (x-z)^2 ~ 0 (mod 8) и подставляем в отношение №5:
(x-z)^2+(y-t)^2 (mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 4)
Рассмотрим (y+t)^2 = 2*y^2+2*t^2- (y-t)^2 ~ 2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 (mod 4)
2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 = 3-a^2 ~ 2 (mod 4), коротко: (y+t)^2 ~ 2 (mod 4)
Перемножим  (y-t)^2 ~ 1(mod 4) и  (y+t)^2 ~ 2(mod 4), получим:
(y^2-t^2)^2 ~ 2(mod 4), но y^2 ~ t^2 (mod 4), то есть (y^2-t^2)^2 ~ 0 (mod 4) - противоречие
   SUA
 
44 - 25.01.13 - 13:22
да, примерно... реально вычислений достаточно много
   RomanYS
 
45 - 25.01.13 - 13:25
В https://ru.wikipedia.org/wiki/Четырёхугольник есть формула "Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением", если взять его по модулю 4 для нечетных чисел получим слева 2, а справа 0
   НафНаф
 
46 - 25.01.13 - 13:27
(45) ага, кто бы про нее еще знал))
   RomanYS
 
47 - 25.01.13 - 13:32
(46) Я ее больше нигде не нашел, причем порядок (выбор a,b,c,d,e,f) в ней влияет на результат. А как правильно обозначить не указано ))
   НафНаф
 
48 - 25.01.13 - 13:51
(47) исходя из симметрии достаточно чтобы пары (a,c), (b,d) и (e,f) не имели общих вершин, то есть либо были противоположными сторонами, либо диагоналями


Список тем форума
Рекламное место пустует  Рекламное место пустует
ВНИМАНИЕ! Если вы потеряли окно ввода сообщения, нажмите Ctrl-F5 или Ctrl-R или кнопку "Обновить" в браузере.
Тема не обновлялась длительное время, и была помечена как архивная. Добавление сообщений невозможно.
Но вы можете создать новую ветку и вам обязательно ответят!
Каждый час на Волшебном форуме бывает более 2000 человек.
Рекламное место пустует