Рациональная последовательность - последовательность, элементы которой удовлетворяют тождеству: x[n]=P(n,x[n-1],...,x[n-k])/Q(n,x[n-1],...,x[n-k]), где P и Q - некоторые многочлены.

Изоиндексная рациональная последовательность - рациональная последовательность, элементы которой удовлетворяют тождеству: x[n]=P(x[n-1],...,x[n-k])/Q(x[n-1],...,x[n-k]), где P и Q - некоторые многочлены. То есть может быть выражена через предыдущие элементы независимо от индекса.

Всякая ли рациональная последовательность является изоиндексной?

Пример:  a[n] = n! = n * (n-1)! = n * a[n-1] может быть выражена как
a[n] = n! = ((n-1)!/(n-2)! + 1)*(n-1)! = (a[n-1]/a[n-2] + 1)*a[n-1]

Другой пример:
a[n]=n*n - зависит только от индекса, можно представить как
a[n]=2*a[n-1]-a[n-2]+2

а вот a[n]=1/n как представить?

нашел
a[n] = 1/n = a[n-1]/(1+a[n-1])

Хера се, трава.

(4) зачем трава? и без нее хорошо

(6) это чувствуется )))

(6) рекурсивное обращение?

В (1) доведено не доконца, ведь надо еще разбить на многочлены P и Q...

я таки неудачник: как я без этого живу - не понятно...

(8) ну что разбивать? представлены числители, знаменатели там равны тождественно 1
(9) не переживай, у каждого свои тараканы

(10) Т.е. Q=1. А в (0) видно что Q зависит от x[n-1],...,x[n-k]...
=> В (1) Нужно показать следующее: Q(a[n-1]...a[n-k])=1 ???

(11) математическая функция может иметь аргумент, но реально от него не зависеть

(12) согласен, но это надо еще показать... т.е. при любых значениях аргумента функция свое значение не меняет, НО при этом аргумент в функции должен присутствовать... напиши знаменатель в (1) где бы были a[n-1]...a[n-k], но Q при этом тождественно была =-й "1"...

(13) напиши мне функцию от 2-х переменных тождественно равную 0?

(13) так что ли?
a[n]=n*n/1
a[n]=(2*a[n-1]-a[n-2]+2)/1

(0) В маткаде не думается?! Решил по старинке Блокнотом помахать...
Я тут размялся в поиске...
http://www.google.com/search?q=Изоиндексная+рациональная+последовательность&hl=ru&lr=lang_ru&client=opera&rls=ru&hs=3YL&filter=0

(0) О-о-о!
Есть еще!
http://yandex.ru/yandsearch?clid=14585&text=Изоиндексная+рациональная+последовательность

x[n]=(x[n-2]^2)/n
Ы?

(18)
x[n]=(x[n-1]*x[n-2]^2*x[n-3]^2)/(x[n-3]^4+x[n-1])

под суммой (произведением) последовательностей a[n],b[n] понимается последовательность c[n]= a[n]+b[n] (a[n]*b[n]).
Будет ли сумма (произведение) рациональных последовательностей также рациональна?

Хотелось бы узнать : автор имеет какое то математическое образование?

(20)
что есть "рациональная последовательность" ?

(21) имеет
(22) написано в (0)

что интересно:
a[n]=a[n-1]+n представимо в виде a[n]=2*a[n-1]-a[n-2]+1
a[n]=n*n представимо в виде a[n]=2*a[n-1]-a[n-2]+2
разница всего в единицу!

мое мнение  - это бредятина..причем полная...никакой научности

(25) обоснуй

(26)
Что бы что то исследовать надо понять  - а есть вообще что исследовать?
n - это ЧИСЛО. И многочлен P(n, x1,x2...xk) ничем примечательным не выделяется от других многочленов. Более того : любой P(n, x1,x2...xk) можно представить в виде Q(x1,x2...xk) и наоборот. Так что  "изоиндексная рациональная последовательность" - вещь в себе , высосанная из пальца.
(20)
Все прогрессивное человечество(которое имеет математическое образование) прекрасно знает что множество рациональных дробей замкнуто относительно сложения и умножения, так что тут ответ "ДА" и странно что такой вопрос вообще возник.

(27) многочлен P(n, x1,x2...xk) рассматривается в контексте своих параметров. Здесь подчеркивается зависимость формулы от индекса элемента. Во втором случае независимость.
Насчет рациональных выражений всем ясно, но, например, для последовательностей
a[n]=a[n-1]^2 и b[n]=1/b[n-1] далеко не очевидно показать, что последовательность c[n]=a[n]+b[n] рационально выражается

(28) не очень пример, исправить b[n]=b[n-1]+b[n-2]

(29)
мой совет : 1. слово многочлен убрать и в данной теме не использовать.
           2. описать четко предмет обсуждения.
зы.a[n-1]^2 + b[n-1]+b[n-2] разве нельзя сложить и получить P(a[n-1],b[n-1],b[n-2])/Q(a[n-1],b[n-1],b[n-2]) ??

(30) можно, но мы должны доказать, что результат можно представить в виде
c[n]=R(c[n-1],...,c[n-m]) - зависимость от c[i] а не a[i],b[i]
попробуй на примере
a[n]=a[n-1]^2
b[n]=b[n-1]+b[n-2]
c[n]=a[n]+b[n]

Насчет многочленов - все там корректно описано.

(31) совершенно уверен что дальше примеров дело не пойдет..Это просто невозможно доказать - нет инструментов подходящих

(19)
Получаем что k не фиксировано?
ЗЫ x[0]=1 x[1]=0 => x[2]=1/2 x[3]=0 x[4]=1/16
но
x[n]=(x[n-1]*x[n-2]^2*x[n-3]^2)/(x[n-3]^4+x[n-1])
x[4]=(x[4-1]*x[4-2]^2*x[4-3]^2)/(x[4-3]^4+x[4-1])=(0*(1/4)*0)/(0+0)
красота :)

а так с мат точки зрения
есть такая идея
x[n+1]=P(n,X)/Q(n,X)
P(n,X)=x[n+1]Q(n,X)
отсюда
G(n,X)=0 - то есть n получаем как некоторую неявную функцию от {x[t]}с t от [n-k] до [n+1]. А поскольку явно выразить n (в общем случае) мы не можем, то общий ответ - нет.

кстати на моем примере (33) это великолепно видно -
если знаменатель (для одного нуля из стартовых значений) еще можно переделать например в что-то вроде (x[n-3]^4+x[n-1]+x[n-4]^4+x[n-2])/2 (за точность не ручаюсь), то случай x[0]=x[1](=x[k]=0) показывает, что многочлен Q(X) должен быть вида C+Q'(X) c Q'(0)=0, а для всех ли многочленов его можно так выбрать?

(33) можем считать это особая точка, такое бывает в алгебраической геометрии, например.
Вообще говоря, для рац. выражения R(n,X) можно рассмотреть все многообразие последовательностей, удовлетворяющих условию x[n]=R(n,X). Многообразие это очевидно определяется произволом выбора начальных элементов. Задачу можно рассматривать: "как представить все множество многообразия формулой независимой от n, за исключением, быть может, особых точек (точка многообразия - последовательность), размерность которых ниже размерности многообразия"

(36) а (34)?

(37) это всего лишь говорит о том что не всякую последовательность можно продолжить в обратную сторону, по индексам 0, -1, -2, ...
x[n]=(x[n-2]^2)/n => (x[n-2]^2) = n*x[n], неявная
однако:
x[n]=(x[n-1]*x[n-2]^2*x[n-3]^2)/(x[n-3]^4+x[n-1])

для x[n]=(x[n-2]^2)/n
кстати неправильная формула
правильно x[n]=(x[n-1]*x[n-2]^2)/(x[n-3]^2+x[n-1])

есть доказательство!

рассмотрим многочлены P(n,x[n-1],...,x[n-k]) и Q(n,x[n-1],...,x[n-k]) как многочлены от одной переменной n
обозначим их коэффициента как
p[i](n-1,n-k) - i коэффициент при i-й степени, в скобках границы индексов элементов последовательности от которых зависит коэффициент
тогда выражение можно переписать в виде:

p[s](n-1,n-k)*n^s+p[s-1](n-1,n-k)*n^(s-1)+...+p[1](n-1,n-k)*n+p[0](n-1,n-k)
---------------------------------------------------------------------------------------------=x[n]
q[t](n-1,n-k)*n^t+q[t-1](n-1,n-k)*n^(t-1)+...+q[1](n-1,n-k)*n+q[0](n-1,n-k)

обозначим
r[i](n,n-k)=(p[i](n-1,n-k)-q[i](n-1,n-k)*x[n]) и m=max{s,t+1}
тогда верно равенство

(*)  r[m](n,n-k)*n^m+r[m-1](n,n-k)*n^(m-1)+...+r[1](n,n-k)*n+r[0](n,n-k)=0

здесь r[i](n,n-k) - многочлены, но мы будем в дальнейшем рассматривать их рац. функции
причем важно, что r[0](n,n-k) не равно 0
так как равенство верно для любых n, то запишем его для (n-1):

(**) r[m](n-1,n-k-1)*(n-1)^m+r[m-1](n-1,n-k-1)*(n-1)^(m-1)+...+r[1](n-1,n-k-1)*(n-1)+r[0](n-1,n-k-1)=0

теперь из равенства (*) вычтем (**) умноженное на r[m](n,n-k)/r[m](n-1,n-k-1)
в результате получим равенство, аналогичное (*) но с другими коэффициентами и (что важно) - со степенью при n не выше m
проделывая такую операцию по снижению степени мы не более чем за m шагов получим
z(n,n-k-m)=0 тождественно не равный 0
исходя из того что x[n] входит во все коэффициенты линейно мы можем явно выразить x[n] от x[n-1]..x[n-k-m]

>>причем важно, что r[0](n,n-k) не равно 0
тут варианта два - либо всегда 0, тогда изучать нечего, либо найдем такое n для которого не 0, поэтому тут условие можно исключить
>>проделывая такую операцию по снижению степени мы не более чем за m шагов получим
z(n,n-k-m)=0 тождественно не равный 0
почему не равный ? (не очевидно, остальное вроде верно)
>>мы можем явно выразить x[n] от x[n-1]..x[n-k-m]
согласен. Итого, изоиндексная последовательность требует доопределения m элементов, где m - наибольшая из степеней полиномов P и Q относительно n

(41)
>>причем важно, что r[0](n,n-k) не равно 0 ТОЖДЕСТВЕННО
то есть не является нулевой константой. Следует из того, что
p[0](n-1,n-k) и q[0](n-1,n-k) одновременно не являются нулевыми константами (иначе дробь можно сократить на n).
>>z(n,n-k-m)=0 тождественно не равный 0
потому что r[0](n,n-k) не равно 0 тождественно на каждом шаге

остается вопрос о том будет ли сумма и произведение рац. последовательностей также рациональной? см (20)

вопрос вовсе не тривиальный, например, для геометрических прогрессий
x[n]=a*x[n-1]
y[n]=b*y[n-1]
сумма будет рациональной последовательностью с формулой:
z[n]=x[n]+y[n]=(a+b)*z[n-1]-a*b*z[n-2]

>>потому что r[0](n,n-k) не равно 0 тождественно на каждом шаге
на первом шаге - неравно, согласен.
А далее - почему не может получиться тождественный 0 при нулевом к-те при разности двух рациональных функций?

Произведение РП - будет РП очевидно
z[n]=x[n]y[n]=(P(n,X)P'(n,Y)/Q(n,X)Q'(n,Y))

Сумма -
z[n]=x[n]+y[n]=(P/Q)+(P'/Q')=(PQ'+QP')/QQ', знаменатель - РП, надо показать что PQ'+QP' нас тоже устроит

(44) на втором шаге оно равно r[0](n,n-k)-r[m](n,n-k)/r[m](n-1,n-k-1)*r[0](n-1,n-k-1) во втором слагаемом присутствует x[n-k-1], которое отсутствует в первом. Коэффициент же r[m](n,n-k) не является тождественным нулем.

(44) P' и Q' это что?
вообще уже теперь можно рассматривать изоиндексную форму

+(46) мне нужно в сумме показать зависимость от Z а P,Q,P',Q' зависят от X и Y

(45)
а если например на некотором шаге r[m] - константа С1 и r[0] - константа С2?
Получим С1-(С2/С2)С1=0
(46)
числитель и знаменатель Y
еще нельзя - если доказательство будет только тогда можно :)
(47) именно

(48) r[i](n,n-k)=(p[i](n-1,n-k)-q[i](n-1,n-k)*x[n])
r[i] завязано на x[n], все последующие нет, так что останется элемент при x[n] и потому не равен тождественно 0